Игорь Всеволодович Можейко родился 18 октября 1934 года в Москве, в семье Всеволода Николаевича Можейко и Марии Михайловны Булычёвой.
В столице в основном прошли его детство и юность, за исключением года, проведенного во время войны в Чистополе, — уже в 1942 его семья вернулась в Москву, одними из первых эвакуированных.
Друзья детства вспоминали, что Игорь Можейко уже в те годы был выдумщиком и заводилой. Они ходили в походы, создали общество Кто Во Что Горазд (сокращенно КоВЧеГ), писали стихи, создавали рукописные журналы.